1 前言
模拟电路中的正反馈并不一定意味着电路不稳定。带隙基准电路就包含正反馈，全差分运放往往通过电阻负反馈来建立直流工作点。这时差模环路是负反馈，共模环路可能是正反馈（因为每级运放是栅极输入、漏极输出，所以共模会反相两次，共模环路是正反馈）。但是，带隙基准电路和全差分两级运放依然被广泛使用，这说明电路中允许某些正反馈存在。不过，前面提到的两个电路在实际使用时都存在简并点问题：带隙基准电路可能存在 $0$ 电流的简并点，全差分两级运放接成反馈后也有可能出现锁死（详见[1]）。原因是，当正反馈的输入是 $0$ 或 $V_{DD}$ 时，输出可能也对应 $0$ 或 $V_{DD}$，如此便可能导致电路进入 $0$ 电流的锁存状态。
环路中出现正反馈时，需要一套直流简并点的分析方法来判断环路是否只有一个稳定的直流工作点。（注意，这里的直流稳定点只是通过 $DC$ 直流扫描来判定，小信号是否稳定还需要进行 $STB$ 仿真。）倘若带隙基准电路或闭环全差分两级运放只进行 $STB$ 仿真，那么电路可能在某些 $PVT$ 下处于正常的直流工作点，$STB$ 环路仿真也正常；但是在另一些 $PVT$ 下，直流工作点可能进入简并点，此时 $STB$ 显示负几十 $\mathrm{dB}$ 的环路增益。
分析直流简并点时，可以将环路在栅极输入处断开，在栅极加入测试电压 $V_t$，经过电路传递后返回到断点的电压为 $V_f$，则 $V_f$ 是 $V_t$ 的函数，可以写成
$$ V_f=f(V_t) $$闭环直流工作点必须满足
$$ V_f=f(V_t)=V_t $$满足以上方程的解即为环路的一个直流解。因此，只要画出 $V_f=f(V_t)$ 与 $V_f=V_t$ 两条曲线，两者的交点就对应闭环电路可能存在的直流工作点。交点的数量表示电路有几个直流解，交点附近的斜率可以判断工作点是否是直流稳定点（下文会详细说明）。
2 基本分析方法
2.1 什么是环路简并点
所谓环路简并点，是指含反馈电路中出现了不希望存在的闭环直流解。电路在数学上满足所有器件方程和连接关系，但对应的电压、电流状态并不是设计者希望得到的正常工作状态。
典型现象包括：
- 锁存器停留在某个稳定逻辑状态；
- 带隙基准停留在零电流或低电流状态；
- 全差分运放的输出共模停留在电源轨附近；
图 1 给出了三类含正反馈电路的例子。虽然三种电路的功能不同，但分析方法相同：将闭合环路断开，给断点施加测试电压 $V_t$，观察返回电压 $V_f$，再判断返回曲线与 $V_f=V_t$ 的交点。
2.2 为什么必须分析直流工作点的唯一性
常规小信号分析总是在某个已经求得的直流工作点附近进行线性化。如果电路存在多个直流工作点，那么不同初始条件、不同上电过程或不同数值求解路径可能把电路带到不同工作点。此时，即使其中一个工作点附近的小信号 $AC$ 或 $STB$ 结果很好，也不能证明电路一定会工作在该点。
因此，含正反馈模拟电路需要回答两个不同的问题：
第一，需要确定闭环电路有几个直流工作点；第二，需要判断每个直流工作点是稳定还是不稳定。
对于普通模拟放大器，期望结果通常是：只有一个直流稳定点，并且这个稳定点就是目标偏置状态。锁存器是例外，因为它的功能本身就要求存在多个稳定状态；但带隙基准、偏置电路和运放共模环路通常不希望出现多个稳定工作点。
“仿真器能够得到一个工作点”只能证明至少存在一个数值解，不能证明该解是唯一的。要验证唯一性，需要观察整个允许输入范围内的回归关系，而不是只检查某个局部工作点。
2.3 断环 $DC$ 扫描
将待分析环路在合适位置断开（通常是栅极输入处），在断点一侧施加直流测试电压 $V_t$（通常施加在栅极），另一侧测量经过整个环路返回的电压 $V_f$。对 $V_t$ 做直流扫描，就可以得到
$$ V_f=f(V_t) $$闭环时，断点两侧原本是同一个节点，因此必须满足
$$ V_f=f(V_t)=V_t $$在以 $V_t$ 为横轴、$V_f$ 为纵轴的坐标系中，$V_f=V_t$ 是一条斜率为 1 的直线。凡是 $V_f=f(V_t)$ 与该直线相交的位置，都满足闭环自洽条件。
设某个交点为 $(V_0,V_0)$，则有
$$ f(V_0)=V_0 $$这就是闭环直流方程。若存在三个交点，就意味着闭环电路存在三个候选直流工作点；若只存在一个交点，则闭环电路只有一个候选直流工作点。
图 2 左侧给出了 $V_f=f(V_t)$ 曲线与 $V_f=V_t$ 直线的交点，下面将说明如何判断这个点是否是直流稳定点。
断环位置应满足两个要求。第一，断开后能够明确给出测试量并测量返回量；第二，断环不应破坏电路原本的直流偏置关系。一般环路在栅极处断开可以满足这两个条件，因此通常将测试电压 $V_t$ 加在栅极上。
2.4 通过交点斜率判断直流简并点是否稳定
假设 $V_f=V_t$ 与 $V_f=f(V_t)$ 交于 $(V_0,V_0)$，如果 $V_f=f(V_t)$ 在 $(V_0,V_0)$ 处的导数小于 $1$，则 $(V_0,V_0)$ 是一个稳定的直流简并点；如果导数大于 $1$，则 $(V_0,V_0)$ 是一个不稳定的直流简并点；如果导数等于 $1$，则需要看高阶导数。（注意，这里的直流工作点稳定不等同于小信号稳定。）简单的理解方法是：当导数（斜率）小于 $0$ 时，$(V_0,V_0)$ 处是负反馈，直流工作点稳定，小信号是否稳定还需要仿真 $STB$；当导数（斜率）在 $0$ 和 $1$ 之间时，$(V_0,V_0)$ 处是弱正反馈。此时由巴克豪森准则可知，找不到环路相移为 $360^\circ$ 且增益大于等于 $1$ 的点，因此环路小信号稳定，直流工作点自然稳定；当导数（斜率）大于 $1$ 时，从巴克豪森准则来看，环路增益在低频时相移为 $360^\circ$ 且增益大于 $1$，因此该点不是一个稳定的直流稳定点。
3 典型电路案例
3.1 锁存器中的简并点
对于锁存器，将环路断开后，输入测试电压经过反相链得到返回电压。输入到输出是正增益，输入为 $0$ 时输出为 $0$，输入为 $V_{DD}$ 时输出为 $V_{DD}$，$V_f=f(V_t)$ 曲线通常呈现$S$形，并与 $V_f=V_t$ 产生多个交点。
图 1 左侧的图中可以看到三个交点：
- 低电平附近的交点稳定；
- 中间电平附近的交点不稳定；
- 高电平附近的交点稳定。
低电平和高电平对应锁存器的两个直流稳定状态。中间交点虽然满足闭环直流方程，但其斜率大于 $1$，因此无法稳定保持。任何很小的噪声或失配都会把状态推向两侧的稳定点。
3.2 带隙基准中的简并点
带隙基准电路中存在正反馈。如图 1 所示，如果输入电压 $V_t=V_{DD}$，则从 $PMOS$ 栅极到运放负端口、再到运放输出的正反馈输出电压为 $V_f=V_{DD}$。于是，目标偏置点之外还可能存在零电流或低电流稳定点。
图 1 中间的曲线展示了多个交点。若输入高电压区域存在稳定交点，电路上电后就可能停留在该点，而不能自行进入正常工作状态。启动电路的作用不是改变正常工作点的核心关系，而是在上电阶段破坏错误稳定状态，使电路越过不稳定区域并进入目标稳定点。
因此，对带隙基准进行简并点分析时，需要重点观察：
- 零输入或高电压输入附近是否存在交点；
- 该交点的斜率是否小于 1；
- 目标偏置点是否为稳定交点；
- 启动支路加入后，错误稳定点是否被消除。
若加入启动电路后，$V_f=f(V_t)$ 与 $V_f=V_t$ 在目标范围内只保留一个稳定交点，就说明启动支路完成了去简并作用。
3.3 全差分运放共模环路中的简并点
全差分运放需要通过共模反馈控制输出共模电压。差模信号路径和共模信号路径并不相同，因此共模状态必须单独分析。
对于栅极输入、漏极输出的单级运放，共模输入到共模输出通常表现为反相。对于二级运放，共模输入到共模输出经过两次反相变为同相，整个闭合环路可能形成正反馈。此时输出共模一旦向某个电源轨偏移，返回控制量可能继续推动输出向同一方向变化，最终形成靠近 $0$ 或 $V_{DD}$ 的稳定状态。
分析时，扫描输入共模测试电压（将输入接在一起，输出接在一起），记录输出的共模电压。其中，$V_t$ 表示输入共模电压，$V_f$ 表示输出共模电压。
若 $V_f=f(V_t)$ 回归曲线与 $V_f=V_t$ 只有一个交点，而且该交点对应目标输出共模并满足 $f'(V_0)<1$，则共模直流状态是唯一且稳定的。若在电源轨附近还有稳定交点，就说明共模环路可能锁死，需要加入去简并措施。
图 1 右侧还说明了一个容易混淆的问题：共模环路不能通过运放符号判断反馈极性。必须沿着共模信号从断点出发，逐级判断每一级是同相还是反相，再确定返回到断点时的总极性。
4 稳定性与去简并
4.1 直流稳定与小信号稳定不是同一个问题
$V_f=f(V_t)$ 曲线描述的是静态输入输出关系，因此它首先解决直流工作点问题：
$$ \begin{aligned} \text{交点数量}&\longrightarrow \text{直流工作点数量},\\ \text{交点斜率与 1 比较}&\longrightarrow \text{直流工作点的稳定性}. \end{aligned} $$但一个电路只有唯一的直流稳定点，并不保证其小信号稳定。电路中的电容、内部高阻节点和多级放大还会引入频率相关的相移。因此，确定直流工作点唯一后，还需要检查小信号闭环稳定性。
4.2 去简并的基本思路
去简并电路的基本思路，就是去掉 $V_f=f(V_t)$ 与 $V_f=V_t$ 的交点中不期望存在的直流稳定点。
对于带隙基准，启动支路在零电流状态提供额外驱动，破坏零电流闭环自洽条件；进入正常工作区后，启动支路应退出或显著减弱，避免改变目标偏置。
对于共模反馈环路，可以改变内部共模反馈输出的位置（比如反馈到负载管而不是尾电流管），或者增加一些常拉 $NMOS$ 或 $PMOS$，防止 $0$ 电流锁定。
去简并前后的判断标准可以直接落在回归图上：去简并前，回归曲线上同时存在目标稳定点和一个或多个错误稳定点；去简并后，目标范围内应只保留目标稳定点。
5 总结
当环路中存在正反馈时，需要检查环路是否只有一个直流稳态点，检查的步骤是：
$$ \begin{aligned} V_f=f(V_t)\ \text{与}\ V_f=V_t\ \text{的交点} &\longrightarrow \text{闭环直流工作点},\\ f'(V_0)<1&\longrightarrow \text{直流稳定点},\\ f'(V_0)>1&\longrightarrow \text{直流不稳定点},\\ f'(V_0)=1&\longrightarrow \text{需要考察高阶导数}. \end{aligned} $$锁存器中的多个稳定点是有意设计的状态；带隙基准和共模反馈环路中的额外稳定点通常是需要消除的简并状态。完成直流工作点分析后，还必须围绕目标工作点继续检查频率相关的环路稳定性。只有同时满足“目标直流工作点唯一且稳定”和“小信号闭环稳定”，含正反馈模拟电路才能可靠工作。