1 前言

高线性度模拟电路往往要求运放在较高频率处仍保持较大的开环增益。此时，设计目标不只是获得足够高的单位增益带宽，还要求幅频曲线在目标频率之前几乎没有增益下降或保持接近单极点下降，避免非主极点引起明显增益和相位裕度下降。

本文讨论一种带 $G_m$ 前馈支路的两级运放。主通路由 $G_{m1}$ 和 $G_{m2}$ 构成，前馈通路由 $C_c$、$R_c$ 和 $G_{mc}$ 构成。前馈支路会在传递函数中引入一个极点和两个零点；正确的设计顺序是先消除前馈支路新增的极点，再决定第二个零点究竟补偿内部节点极点还是输出节点极点。

全文围绕同一个设计目标展开：

为了实现高线性度，在负载电容 $C_L=1\ \mathrm{pF}$ 的情况下，要求运放在 $100\ \mathrm{MHz}$ 处仍具有约 $40\ \mathrm{dB}$ 的开环增益。

2 设计目标与单极点方案

2.1 从设计指标得到目标传递函数

忽略主极点处的 $-3\ \mathrm{dB}$ 误差，$40\ \mathrm{dB}$ 对应的电压增益为

$$ A_0=10^{40/20}=100\ \mathrm{V/V}. $$

若主极点位于 $100\ \mathrm{MHz}$，则理想单极点响应的单位增益带宽约为

$$ f_u\approx A_0f_p =100\times100\ \mathrm{MHz} =10\ \mathrm{GHz}. $$

因此，目标可以概括为

$$ \begin{aligned} A_0&\approx100,\\ f_p&\approx100\ \mathrm{MHz},\\ f_u&\approx10\ \mathrm{GHz},\\ C_L&=1\ \mathrm{pF}. \end{aligned} $$

上述增益、主极点频率与单位增益带宽之间的关系如图 1 所示。

对于单极点运放，单位增益角频率和单位增益频率近似为

$$ \omega_u\approx\frac{G_m}{C_L}, \qquad f_u\approx\frac{G_m}{2\pi C_L}. $$

于是输入跨导至少需要达到

$$ \begin{aligned} G_m&\approx2\pi f_uC_L\\ &=2\pi\times10\ \mathrm{GHz}\times1\ \mathrm{pF}\\ &\approx62.8\ \mathrm{mS}. \end{aligned} $$

与此同时，低频增益要求输入管具有

$$ g_mr_o\geq100. $$

这意味着同一组输入晶体管既要提供约 $62.8\ \mathrm{mS}$ 的跨导，又要具有至少 $100$ 的本征增益。为了提高 $g_mr_o$ 需要增加沟道长度；为了提高 $g_m$ 又需要增加宽度和电流，两项要求会同时推高晶体管尺寸和寄生电容。

2.2 直接采用单极点运放的器件代价

在给定偏置条件下，输入管长度需要约 $300\ \mathrm{nm}$ 才能满足本征增益要求；为了满足跨导要求，输入管宽度需要约 $1080\ \mathrm{\mu m}$。28nm下可以仿真得到满足要求的器件工作点为

$$ \begin{aligned} g_m&=69.86\ \mathrm{mS},\\ g_mr_o&=163.5,\\ C_{gg}&=3.454\ \mathrm{pF},\\ I_D&=3.3\ \mathrm{mA},\\ \frac{W}{L}&=\frac{1080\ \mathrm{\mu m}}{300\ \mathrm{nm}}. \end{aligned} $$

虽然跨导和本征增益均满足要求，但 $C_{gg}=3.454\ \mathrm{pF}$ 已经明显大于 $1\ \mathrm{pF}$ 的输出负载。运放本身即使能够达到目标带宽，驱动它的前一级也需要承担很大的输入电容，系统级实现非常困难。同时晶体管的漏极大寄生电容会直接与负载电容并联，实际运放仿真的$GBW$会严重受到影响。

上述单极点方案的器件尺寸与工作点仿真结果见图 2。

3 前馈补偿原理

3.1 前馈补偿运放的小信号模型

参数	含义
$G_{m1}$	第一级跨导
$R_{o1}$	第一级输出节点电阻
$C_{o1}$	第一级输出节点总电容
$G_{m2}$	第二级跨导
$R_L$	输出节点等效电阻
$C_L$	输出负载电容
$G_{mc}$	前馈支路跨导
$R_c$	前馈网络电阻
$C_c$	前馈网络电容

主通路依次经过第一级跨导、内部节点、第二级跨导和输出节点；前馈通路则由输入端经过 $C_c$、$R_c$ 和 $G_{mc}$ 直接作用于输出端。

上述主通路与前馈通路的小信号模型，以及相应的传递函数如图 3 所示。

定义三个极点角频率

$$ \omega_{pL}=\frac{1}{R_LC_L},\qquad \omega_{po}=\frac{1}{R_{o1}C_{o1}},\qquad \omega_c=\frac{1}{R_cC_c}. $$

传递函数可写为

$$ H(s)=G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L \frac{ \dfrac{R_cC_cG_{mc}C_{o1}}{G_{m1}G_{m2}}s^2 +\left( \dfrac{G_{mc}R_cC_c}{G_{m1}G_{m2}R_{o1}} +R_cC_c \right)s+1 } {(1+R_LC_Ls)(1+R_{o1}C_{o1}s)(1+R_cC_cs)}. $$

将分子写成零点形式，有

$$ H(s)=G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L \frac{(1+s/\omega_{z1})(1+s/\omega_{z2})} {(1+s/\omega_{pL})(1+s/\omega_{po})(1+s/\omega_c)}. $$

设计目标是用两个零点补偿三个极点中的两个，只留下一个主导极点。

3.2 消除前馈支路新增极点所需的条件

在上一节的分析可以看出，前馈补偿在原来未补偿的二级运放的两个极点之外提供了一个新增极点 $\omega_c$ ，为了让新增极点

$$ \omega_c=\frac{1}{R_cC_c} $$

被分子中的一个零点抵消，需要使

$$ s=-\frac{1}{R_cC_c} $$

成为分子二次多项式的一个根。将其代入分子，得到

$$ \frac{G_{mc}}{G_{m1}G_{m2}} \left( \frac{C_{o1}}{R_cC_c}-\frac{1}{R_{o1}} \right)=0. $$

由于三个跨导均不为零，因此必须满足

$$ \boxed{R_cC_c=R_{o1}C_{o1}}. $$

于是

$$ \omega_c=\omega_{po}. $$

在这个条件下，分子可以分解为

$$ \left(1+sR_cC_c\right) \left(1+s\frac{G_{mc}C_{o1}}{G_{m1}G_{m2}}\right). $$

因此两个零点分别为

$$ \boxed{ \omega_{z1}=\frac{1}{R_cC_c}=\omega_c=\omega_{po} } $$

和

$$ \boxed{ \omega_{z2}=\frac{G_{m1}G_{m2}}{G_{mc}C_{o1}} }. $$

第一个零点 $\omega_{z1}$ 已经用于消除前馈支路新增的极点 $\omega_c$。接下来真正决定设计结果的是第二个零点 $\omega_{z2}$：它可以被放在内部极点 $\omega_{po}$，也可以被放在输出极点 $\omega_{pL}$。这两种选择会产生完全不同的低频增益和器件压力。 实际上，前馈补偿的第二个极点$\omega_{z2}$只有在补偿外部次级点 $\omega_{pL}$ （设计时需要把$\omega_{po}$设计为主级点，$\omega_{pL}$设计为次极点）时，才能解决单极点运放难以同时做到高增益和高带宽的痛点。

4 零点选择与极点分配

4.1 为什么不应补偿内部极点 $\omega_{po}$

若令

$$ \omega_{z2}=\omega_{po}, $$

则

$$ \frac{G_{m1}G_{m2}}{G_{mc}C_{o1}} =\frac{1}{R_{o1}C_{o1}}, $$

从而得到

$$ \boxed{G_{mc}=G_{m1}R_{o1}G_{m2}}. $$

此时 $\omega_{z1}$ 抵消 $\omega_c$，$\omega_{z2}$ 抵消 $\omega_{po}$，传递函数只剩输出节点极点：

$$ H(s)= \frac{G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L} {1+s/\omega_{pL}} =\frac{G_{mc}R_L}{1+sR_LC_L}. $$

因此

$$ \boxed{A_{DC}=G_{mc}R_L}, $$ $$ \boxed{ \omega_u=\frac{G_{mc}}{C_L},\qquad f_u=\frac{G_{mc}}{2\pi C_L} }. $$

通过增大 $G_{mc}$ 使第二个零点向内部极点移动的补偿过程如图 4 所示。

补偿内部极点后，整个两级运放等效为一个跨导为 $G_{mc}$、输出电阻为 $R_L$、负载为 $C_L$ 的单极点运放。也就是说，其实只需要保留运放的 $G_{mc}$ 部分就可以实现相同的效果。原本两级主通路的低频增益最终被压缩为 $G_{mc}R_L$，于是单极点运放“高带宽要求大跨导、高增益要求大输出电阻”的矛盾仍然存在。

$G_{mc}$ 并不是一个不会影响输出节点的理想跨导源。实际前馈级的输出电阻会与原有 $R_L$ 并联。为了提高带宽而增加 $G_{mc}$，通常需要增加电流；电流增大后，前馈级输出电阻下降，输出节点的等效 $R_L$ 也会下降。因此，增大 $G_{mc}$ 的同时很难保持足够大的 $R_L$，与单极运放类似，达到相同的$GBW$时低频增益 $G_{mc}R_L$ 依然受到牵制。

补偿内部极点后的等效结果如图 5 所示，对应上述低频增益退化为 $G_{mc}R_L$ 的结论。

因此，补偿 $1/(R_{o1}C_{o1})$ 虽然可以在形式上实现单极点化，却没有解决单极运放难以同时做到高增益和高带宽的痛点。

4.2 为什么应把内部极点设计为主极点

更有价值的极点分配是

$$ \boxed{\omega_{po}<\omega_{pL}}, $$

即

$$ \frac{1}{R_{o1}C_{o1}} < \frac{1}{R_LC_L}. $$

这表示第一级内部节点极点 $\omega_{po}$ 是主极点，输出节点极点 $\omega_{pL}$ 是次极点。我们从一个未补偿的运放开始，未补偿的两级运放经过两个极点后会出现更快的增益滚降和更多相移，因此需要用前馈零点消除次极点。

上述内部主极点、输出次极点的配置及未补偿时的频率响应如图 6 所示。

内部极点应当保留为主极点，原因有三点。

第一，内部节点的 $R_{o1}$ 可以较大，$C_{o1}$ 也可以通过器件尺寸和节点寄生进行设计，因此较容易把 $\omega_{po}$ 放在所需的低频位置。

第二，输出节点直接承受 $C_L$。若把输出极点作为主极点，为了得到高低频增益需要增大 $R_L$，但增大 $R_L$ 又会降低 $\omega_{pL}=1/(R_LC_L)$，直接压低带宽。把输出极点设计为次极点，反而允许使用较小的 $R_L$ 将它推到高频。

第三，与补偿内部次级点不同，补偿外部次级点时，增大$ G_{mc} $会降低$ \omega_{z2} $，同时会降低$ R_L $而让$ \omega_{pL} $增大。二者“双向奔赴”，让补偿变得更容易，有效减缓了$ R_L $的降低。最终补偿 $\omega_{pL}$ 后，低频增益不仅包含 $G_{mc}R_L$，还会获得极点比值 $\omega_{pL}/\omega_{po}$ 的增益放大（在下一节会提到）。这个比值正是前馈补偿能够放宽 $R_L$ 要求的关键。

上述增大 $G_{mc}$、使第二个零点与输出次极点逐渐接近的过程如图 7 所示。

4.3 用第二个零点补偿输出极点

令

$$ \omega_{z2}=\omega_{pL}. $$

代入零点表达式，有

$$ \frac{G_{m1}G_{m2}}{G_{mc}C_{o1}} =\frac{1}{R_LC_L}. $$

于是

$$ \boxed{ G_{mc}=G_{m1}G_{m2}R_L\frac{C_L}{C_{o1}} }. $$

利用

$$ \frac{\omega_{po}}{\omega_{pL}} =\frac{R_LC_L}{R_{o1}C_{o1}}, $$

还可以写成

$$ \boxed{ G_{mc}=G_{m1}G_{m2}R_{o1} \frac{\omega_{po}}{\omega_{pL}} }. $$

当 $\omega_{z1}$ 抵消 $\omega_c$，$\omega_{z2}$ 抵消 $\omega_{pL}$ 后，只剩内部主极点 $\omega_{po}$：

$$ H(s)= \frac{G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L} {1+s/\omega_{po}}. $$

低频增益为

$$ A_{DC}=G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L =G_{mc}R_L\frac{\omega_{pL}}{\omega_{po}}. $$

因此

$$ \boxed{ A_{DC}=G_{mc}R_L\frac{\omega_{pL}}{\omega_{po}} }. $$

单位增益角频率为

$$ \begin{aligned} \omega_u &=A_{DC}\omega_{po}\\ &=G_{mc}R_L\omega_{pL}\\ &=\frac{G_{mc}}{C_L}. \end{aligned} $$

对应

$$ \boxed{f_u=\frac{G_{mc}}{2\pi C_L}}. $$

与补偿内部极点的方案相比，单位增益带宽仍由 $G_{mc}/C_L$ 决定，但低频增益由 $G_{mc}R_L$ 提高为

$$ G_{mc}R_L\frac{\omega_{pL}}{\omega_{po}}. $$

补偿输出次极点后的结果如图 8 所示，对应上述保留内部主极点并利用极点比值提高低频增益的推导。

由于设计时令 $\omega_{pL}>\omega_{po}$，极点比值大于 1，因此相同低频增益下可以显著减小 $R_L$。较小的 $R_L$ 又会把输出极点 $\omega_{pL}=1/(R_LC_L)$ 推向更高频，进一步满足“输出极点作为次极点”的要求。

增加 $G_{mc}$ 会使

$$ \omega_{z2}=\frac{G_{m1}G_{m2}}{G_{mc}C_{o1}} $$

向低频移动；与此同时，前馈级输出电阻下降，使等效 $R_L$ 下降，进而使

$$ \omega_{pL}=\frac{1}{R_LC_L} $$

向高频移动。在合适的初始极点配置下，$\omega_{z2}$ 与 $\omega_{pL}$ 会从两侧接近，更容易实现输出极点补偿。

从前面的分析可以得出前馈补偿运放不能补偿主极点的理由：首先不管内部极点是主极点还是次级点，都不能补偿内部极点，因为这样最终等效为设计一个单极运放是一样的；其次更不能把外部极点设计为主极点并补偿，因为这样达到相同的$GBW$时，增益反不如单极运放。

5 40 dB@100 MHz 案例的参数设计

现在回到设计目标：

$$ C_L=1\ \mathrm{pF},\qquad |A(100\ \mathrm{MHz})|\approx40\ \mathrm{dB}. $$

按照近似单极点响应，取

$$ A_0\approx100,\qquad f_{po}\approx100\ \mathrm{MHz},\qquad f_u\approx10\ \mathrm{GHz}. $$

5.1 由单位增益带宽确定 $G_{mc}$

$$ \begin{aligned} G_{mc} &=2\pi f_uC_L\\ &=2\pi\times10\ \mathrm{GHz}\times1\ \mathrm{pF}\\ &\approx62.8\ \mathrm{mS}. \end{aligned} $$

5.2 确定主极点和次极点

令内部极点为主极点，输出极点为次极点：

$$ f_{po}=100\ \mathrm{MHz},\qquad f_{pL}=666\ \mathrm{MHz}. $$

二者之比为

$$ \frac{f_{pL}}{f_{po}}=6.66. $$

取

$$ C_{o1}=0.5\ \mathrm{pF},\qquad C_L=1\ \mathrm{pF}, $$

则

$$ \begin{aligned} R_{o1} &=\frac{1}{2\pi f_{po}C_{o1}}\\ &=\frac{1}{2\pi\times100\ \mathrm{MHz}\times0.5\ \mathrm{pF}}\\ &\approx3.2\ \mathrm{k\Omega}, \end{aligned} $$

以及

$$ \begin{aligned} R_L &=\frac{1}{2\pi f_{pL}C_L}\\ &=\frac{1}{2\pi\times666\ \mathrm{MHz}\times1\ \mathrm{pF}}\\ &\approx239\ \mathrm{\Omega}. \end{aligned} $$

5.3 确定两级主通路跨导

选择

$$ G_{m1}=6.25\ \mathrm{mS},\qquad G_{m2}=21\ \mathrm{mS}. $$

低频增益为

$$ \begin{aligned} A_0 &=G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L\\ &=6.25\ \mathrm{mS}\times21\ \mathrm{mS} \times3.2\ \mathrm{k\Omega}\times239\ \mathrm{\Omega}\\ &\approx100\\ &\approx40\ \mathrm{dB}. \end{aligned} $$

输出极点补偿条件给出的前馈跨导为

$$ \begin{aligned} G_{mc} &=G_{m1}G_{m2}R_L\frac{C_L}{C_{o1}}\\ &=6.25\ \mathrm{mS}\times21\ \mathrm{mS} \times239\ \mathrm{\Omega}\times\frac{1\ \mathrm{pF}}{0.5\ \mathrm{pF}}\\ &\approx62.7\ \mathrm{mS}. \end{aligned} $$

该结果与单位增益带宽反推出的 $62.8\ \mathrm{mS}$ 基本一致。

5.4 确定 $R_c$ 与 $C_c$

以

$$ R_cC_c=R_{o1}C_{o1} $$

作为初始补偿条件，取

$$ R_c=3.2\ \mathrm{k\Omega},\qquad C_c=0.5\ \mathrm{pF}. $$

第一版参数汇总如下。

参数	设计值	作用
$G_{mc}$	$62.8\ \mathrm{mS}$	设定约 $10\ \mathrm{GHz}$ 的单位增益带宽
$G_{m1}$	$6.25\ \mathrm{mS}$	提供第一级跨导与主通路增益
$G_{m2}$	$21\ \mathrm{mS}$	提供第二级跨导
$R_{o1}$	$3.2\ \mathrm{k\Omega}$	与 $C_{o1}$ 形成约 $100\ \mathrm{MHz}$ 主极点
$C_{o1}$	$0.5\ \mathrm{pF}$	第一级节点总电容
$R_L$	$239\ \mathrm{\Omega}$	与 $C_L$ 形成约 $666\ \mathrm{MHz}$ 次极点
$C_L$	$1\ \mathrm{pF}$	输出负载
$R_c$	$3.2\ \mathrm{k\Omega}$	与 $C_c$ 设置前馈支路时间常数
$C_c$	$0.5\ \mathrm{pF}$	产生前馈零点

对应的目标零极点位置为

$$ \begin{aligned} f_{po}&\approx100\ \mathrm{MHz},\\ f_{pL}&\approx666\ \mathrm{MHz},\\ f_c&\approx100\ \mathrm{MHz},\\ f_{z1}&\approx100\ \mathrm{MHz},\\ f_{z2}&\approx666\ \mathrm{MHz}. \end{aligned} $$

其中 $f_{z1}$ 用于抵消前馈支路新增极点 $f_c$，$f_{z2}$ 用于抵消输出次极点 $f_{pL}$，最终保留内部主极点 $f_{po}$。

6 晶体管级实现与仿真

6.1 前馈补偿运放第一级输入管的尺寸与电流估算

前馈补偿方案不再要求第一级输入管同时提供 $62.8\ \mathrm{mS}$ 的跨导和 $100$ 的本征增益。第一版设计中，第一级输入管的本征增益只需达到约 $20$，跨导目标约为 $6.25\ \mathrm{mS}$。

器件工作点为

$$ \begin{aligned} \frac{W}{L}&=\frac{24\ \mathrm{\mu m}}{120\ \mathrm{nm}},\\ g_m&=6.77\ \mathrm{mS},\\ g_mr_o&=35.7,\\ C_{gg}&=33.8\ \mathrm{fF},\\ I_D&=0.42\ \mathrm{mA}. \end{aligned} $$

输入差分对总电流约为

$$ I_{\mathrm{stage1}}=2\times0.42\ \mathrm{mA}=0.84\ \mathrm{mA}. $$

与单极点方案相比，第一级输入管宽度由 $1080\ \mathrm{\mu m}$ 降到 $24\ \mathrm{\mu m}$，栅极寄生电容由 $3.454\ \mathrm{pF}$ 降到 $33.8\ \mathrm{fF}$。低频增益由两级主通路共同建立，高频跨导任务由前馈支路承担，因此输入差分对不再承受全部设计压力。

上述第一级输入管的器件尺寸、工作点及栅极寄生电容的仿真结果见图 9。

6.2 前馈补偿运放$G_{mc}$ 支路与第二级的尺寸估算

对图 10 中相关晶体管进行粗略估算，假设 $M_5$、$M_6$、$M_{7P}$、$M_{7N}$、$M_{8P}$ 和 $M_{8N}$ 具有相同的本征增益和 $g_m/I_D$，并假设 $M_6$ 与 $ M_{8P} $ 电流相等，假设$ M_{7N} $的跨导为$ G_{mn} $，可得

$$ G_{mc}=1.5G_{mn},\qquad G_{m2}=0.5G_{mn}. $$

于是

$$ G_{mc}R_L =1.5G_{mn}\times0.5r_{on} =0.75G_{mn}r_{on}. $$

为了满足 $G_{mc}R_L=15$，需要

$$ G_{mn}r_{on}\approx20. $$

对应沟道长度可取约 $100\ \mathrm{nm}$。为了使 $G_{mc}=62.8\ \mathrm{mS}$，需要

$$ G_{mn}=\frac{62.8\ \mathrm{mS}}{1.5}\approx41.9\ \mathrm{mS}. $$

器件参数可以估计为

$$ \begin{aligned} \frac{W}{L}&=\frac{56\ \mathrm{\mu m}}{100\ \mathrm{nm}},\\ g_m&=41.98\ \mathrm{mS},\\ g_mr_o&=27.7,\\ C_{gg}&=77\ \mathrm{fF},\\ I_D&=4.94\ \mathrm{mA}. \end{aligned} $$

第二级总电流和运放总电流的估算分别为

$$ I_{\mathrm{stage2}}=2\times4.94\ \mathrm{mA}=9.88\ \mathrm{mA}, $$ $$ I_{\mathrm{total}} \approx9.88\ \mathrm{mA}+0.84\ \mathrm{mA} =10.72\ \mathrm{mA}. $$

6.3 晶体管级完整电路与实际参数

完整电路由偏置、$G_{m1}$、$G_{m2}$、$G_{mc}$ 和共模反馈五部分组成。图 11 标出了关键晶体管尺寸、电阻和补偿电容。

参数	手算初值	晶体管级提取值
$G_{m1}$	$6.25\ \mathrm{mS}$	$5.96\ \mathrm{mS}$
$R_{o1}$	$3.2\ \mathrm{k\Omega}$	$9.2\ \mathrm{k\Omega}$
$G_{m2}$	$21\ \mathrm{mS}$	$20.94\ \mathrm{mS}$
$R_L$	$239\ \mathrm{\Omega}$	$218\ \mathrm{\Omega}$
$R_c$	$3.2\ \mathrm{k\Omega}$	$3.2\ \mathrm{k\Omega}$
$C_c$	$0.5\ \mathrm{pF}$	$0.27\ \mathrm{pF}$
$C_{o1}$	$0.5\ \mathrm{pF}$	$0.29\ \mathrm{pF}$
$G_{mc}$	$62.8\ \mathrm{mS}$	$85\ \mathrm{mS}$

实际零极点位置为

$$ \begin{aligned} f_{po}&=59.7\ \mathrm{MHz},\\ f_{pL}&=730\ \mathrm{MHz},\\ f_c&=184\ \mathrm{MHz},\\ f_{z1}&=235.7\ \mathrm{MHz},\\ f_{z2}&=629.75\ \mathrm{MHz}. \end{aligned} $$

实际设计并没有严格满足 $R_cC_c=R_{o1}C_{o1}$，而是更接近

$$ f_c\approx3f_{po}, \qquad R_cC_c\approx\frac{R_{o1}C_{o1}}{3}. $$

尽管如此，$f_{z1}=235.7\ \mathrm{MHz}$ 仍接近 $f_c=184\ \mathrm{MHz}$，$f_{z2}=629.75\ \mathrm{MHz}$ 仍接近 $f_{pL}=730\ \mathrm{MHz}$，最终形成了近似单极点响应。这说明 $R_cC_c=R_{o1}C_{o1}$ 是推导清晰、物理意义明确的初始设计条件；进入晶体管级后，还需要依据真实节点电阻、电容和跨导重新调整。具体的调整思路会在后面分析。

6.4 AC 仿真结果

仿真平台采用差分输入，输入与输出共模均为 $500\ \mathrm{mV}$，负载电容为 $1\ \mathrm{pF}$。AC 仿真得到

$$ \begin{aligned} A_{DC}&=45.65\ \mathrm{dB},\\ \mathrm{GBW}&=8.331\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{PM}&=85.24^\circ,\\ |A(100\ \mathrm{MHz})|&=39.7621\ \mathrm{dB},\\ I_{\mathrm{total}}&\approx8.25\ \mathrm{mA}. \end{aligned} $$

上述 AC 仿真所采用的差分输入与负载连接方式见图 12。

低频增益高于最初设定的 $40\ \mathrm{dB}$，主要原因是实际 $R_{o1}$ 高于手算值。实际单位增益带宽为 $8.331\ \mathrm{GHz}$，低于理想目标 $10\ \mathrm{GHz}$，但 $100\ \mathrm{MHz}$ 处的开环增益达到 $39.76\ \mathrm{dB}$，基本满足直接对应高线性度需求的指标。

上述开环增益、单位增益带宽和相位裕度对应的仿真曲线见图 13。

6.5 $R_cC_c$ 对幅值和相位的影响

理论推导得到

$$ R_cC_c=R_{o1}C_{o1} $$

作为消除前馈新增极点 $\omega_c$ 的初始条件。但晶体管级电路中，零点和极点由真实节点参数共同决定。改变 $R_cC_c$ 会同时改变前馈支路极点和两个零点的位置，具体分析和仿真如下。

图 14 比较了三种时间常数：

$$ \begin{aligned} \text{绿色：}\quad R_cC_c&=2.5R_{o1}C_{o1},\\ \text{黄色：}\quad R_cC_c&=R_{o1}C_{o1},\\ \text{红色：}\quad R_cC_c&=0.4R_{o1}C_{o1}. \end{aligned} $$

在$R_cC_c=R_{o1}C_{o1}$的初始条件下：减小$R_cC_c$可以减小版图面积，略微减小增益并略微改善相位裕度；增大$R_cC_c$会增大版图面积，略微增大增益并略微损失相位裕度。 详细的证明见图15

因此，如果在设计中把外部极点 $\omega_{pL}$设计为次级点， $\omega_{po}$设计为主级点，并假设$k=\omega_{po}/\omega_{pL}$足够小。那么在$R_cC_c=R_{o1}C_{o1}$的初始条件下：适当改变$R_cC_c$依然能保证$\omega_{z1}$抵消$\omega_{c}$。增大$R_cC_c$会减小$\alpha$，从而让$\omega_{z2}$减小，补偿效果变差，相位裕度略微变差，反之亦然。本案例最终采用约

$$ R_cC_c\approx(0.3\sim0.4)R_{o1}C_{o1} $$

如此减小版图面积、改善相位裕度，略微牺牲约$1-2dB$增益，两个好处一个坏处，是值得的。

7 对比与总结

7.1 与二级 Miller 补偿运放的电流对比

在相同 $10\ \mathrm{GHz}$ 单位增益带宽和 $C_L=1\ \mathrm{pF}$ 条件下，二级 Miller 补偿运放需要把第二极点推到较高频率。若要求

$$ \frac{G_{m2}}{2\pi C_L}=3\times10\ \mathrm{GHz}, $$

则

$$ G_{m2}=2\pi\times3\times10\ \mathrm{GHz}\times1\ \mathrm{pF} \approx188\ \mathrm{mS}. $$

利用

$$ \frac{g_m}{I_D}=\frac{2}{V_{od}}, $$

取 $V_{od}=0.1\ \mathrm{V}$，每支路电流约为

$$ I_D=\frac{1}{2}g_mV_{od} =\frac{1}{2}\times188\ \mathrm{mS}\times0.1\ \mathrm{V} =9.4\ \mathrm{mA}. $$

第二级总电流约为

$$ I_{\mathrm{stage2}}=2\times9.4\ \mathrm{mA}=18.8\ \mathrm{mA}. $$

若取 $C_c=0.3C_L$，为了使

$$ f_u=\frac{g_{m1}}{2\pi C_c}=10\ \mathrm{GHz}, $$

需要 $g_{m1}\approx18.8\ \mathrm{mS}$。同样取 $V_{od}=0.1\ \mathrm{V}$，第一级总电流约为 $1.88\ \mathrm{mA}$，因此理想估算总电流为

$$ I_{\mathrm{total,Miller}} \approx18.8\ \mathrm{mA}+1.88\ \mathrm{mA} =20.68\ \mathrm{mA}. $$

进一步按第二级输入管本征增益 $20$ 和 $g_m=188\ \mathrm{mS}$ 进行器件设计，需要约

$$ \frac{W}{L}=\frac{240\ \mathrm{\mu m}}{80\ \mathrm{nm}}, $$

单管电流约 $23.38\ \mathrm{mA}$，第二级总电流可能达到

$$ 2\times23.38\ \mathrm{mA}=46.76\ \mathrm{mA}. $$

上述 Miller 补偿方案的第二级器件尺寸与电流估算对应图 16 中的仿真结果。

相比之下，前馈补偿方案的器件级估算总电流约为 $10.72\ \mathrm{mA}$，最终仿真电流约为 $8.25\ \mathrm{mA}$。Miller 补偿主要依靠较大的 $G_{m2}$ 把非主极点推高，而前馈补偿利用第二个零点直接补偿输出极点，因此可以降低第二级跨导和电流压力。

7.2 设计流程总结

对于 $C_L=1\ \mathrm{pF}$、$100\ \mathrm{MHz}$ 处增益 $40\ \mathrm{dB}$ 的目标，设计顺序为：

1. 将 $40\ \mathrm{dB}$ 换算为 $100\ \mathrm{V/V}$，由 $100\ \mathrm{MHz}$ 主极点得到约 $10\ \mathrm{GHz}$ 的目标单位增益带宽。
2. 由 $G_{mc}=2\pi f_uC_L$ 得到 $G_{mc}\approx62.8\ \mathrm{mS}$。
3. 令 $R_cC_c=R_{o1}C_{o1}$，使 $\omega_{z1}=\omega_c$，消除前馈支路新增的极点。
4. 将内部极点设计为主极点、输出极点设计为次极点，使 $\omega_{po}<\omega_{pL}$。
5. 令 $\omega_{z2}=\omega_{pL}$，利用第二个零点补偿输出极点，而不是补偿内部主极点。
6. 选择 $f_{po}\approx100\ \mathrm{MHz}$、$f_{pL}\approx666\ \mathrm{MHz}$，由节点电容反推出 $R_{o1}$ 和 $R_L$。
7. 选择 $G_{m1}$ 和 $G_{m2}$，使 $G_{m1}G_{m2}R_{o1}R_L\approx100$。
8. 根据晶体管级工作点重新计算真实极点和零点，再扫描 $R_cC_c$，在增益、峰化和相位裕度之间寻找折中。

7.3 总结

$G_m$ 前馈补偿的关键不是笼统地“用零点补偿极点”，而是明确两个零点各自承担的任务。首先令

$$ R_cC_c=R_{o1}C_{o1}, $$

使

$$ \omega_{z1}=\omega_c=\omega_{po}, $$

从而消除前馈支路新增的极点。随后，第二个零点为

$$ \omega_{z2}=\frac{G_{m1}G_{m2}}{G_{mc}C_{o1}}. $$

若用 $\omega_{z2}$ 补偿内部极点，最终低频增益退化为

$$ A_{DC}=G_{mc}R_L, $$

高增益与高带宽仍同时要求较大的 $G_{mc}$ 和 $R_L$。若把内部极点设计为主极点、输出极点设计为次极点，并用 $\omega_{z2}$ 补偿输出极点，则

$$ A_{DC}=G_{mc}R_L\frac{\omega_{pL}}{\omega_{po}}, \qquad \omega_u=\frac{G_{mc}}{C_L}. $$

极点比值 $\omega_{pL}/\omega_{po}$ 在不降低单位增益带宽的情况下提高了低频增益，因此可以显著放宽 $R_L$ 的要求。

在 $C_L=1\ \mathrm{pF}$、$100\ \mathrm{MHz}$ 处增益 $40\ \mathrm{dB}$ 的案例中，最终仿真得到 $39.76\ \mathrm{dB}$ 的目标频率增益、$8.331\ \mathrm{GHz}$ 的单位增益带宽和 $85.24^\circ$ 的相位裕度，基本达到设计目标。